複素数平面において、複素数 $z$ が $|z-1| + |z+1| = 4$ を満たすとき、$z$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

複素数平面において、複素数 $z$ が $|z-1| + |z+1| = 4$ を満たすとき、$z$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、与えられた条件は次のようになる。

$|x + yi - 1| + |x + yi + 1| = 4$

$|(x-1) + yi| + |(x+1) + yi| = 4$

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 4$

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 4 - \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

両辺を2乗する。

$(x-1)^2 + y^2 = 16 - 8\sqrt{(x+1)^2 + y^2} + (x+1)^2 + y^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 16 - 8\sqrt{(x+1)^2 + y^2} + x^2 + 2x + 1 + y^2$

$-2x = 16 - 8\sqrt{(x+1)^2 + y^2} + 2x$

$8\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 4x + 16$

$2\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = x + 4$

両辺を2乗する。

$4((x+1)^2 + y^2) = (x+4)^2$

$4(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 + 8x + 16$

$4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 8x + 16$

$3x^2 + 4y^2 = 12$

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$

これは楕円の式である。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ で表される楕円。