コーシー・リーマンの微分方程式を用いて、関数 $f(z) = r \cos \theta$ が微分可能かどうかを判断する問題です。ここで、$z = r e^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta) = x+iy$ です。

1. 問題の内容

コーシー・リーマンの微分方程式を用いて、関数 $f(z) = r \cos \theta$ が微分可能かどうかを判断する問題です。ここで、$z = r e^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta) = x+iy$ です。

2. 解き方の手順

まず、$f(z)$ を $x, y$ で表します。

$x = r \cos \theta$ より、$f(z) = x$ です。

したがって、$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ とおくと、$u(x, y) = x$、$v(x, y) = 0$ となります。

コーシー・リーマンの関係式は以下の通りです。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$

それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

したがって、コーシー・リーマンの関係式は

$1 = 0$

$0 = 0$

となります。

1つ目の式 $1 = 0$ は明らかに成り立ちません。

したがって、コーシー・リーマンの関係式は満たされません。

コーシー・リーマンの関係式が満たされないので、$f(z) = r \cos \theta$ は微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

微分可能ではない。