上面の半径が8cm、高さが24cmの円錐状の容器に、毎秒$5cm^3$の割合で水を注ぐ。水面の高さが12cmになったとき、水面の上昇速度を求める。

1. 問題の内容

上面の半径が8cm、高さが24cmの円錐状の容器に、毎秒$5cm^3$の割合で水を注ぐ。水面の高さが12cmになったとき、水面の上昇速度を求める。

2. 解き方の手順

まず、水面の高さを$h$、水面の半径を$r$、水の体積を$V$とする。

円錐の相似比より、$\frac{r}{h} = \frac{8}{24}$が成り立つ。

よって、$r = \frac{1}{3}h$である。

水の体積$V$は、$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$で表される。

$r = \frac{1}{3}h$を代入すると、$V = \frac{1}{3}\pi (\frac{1}{3}h)^2 h = \frac{1}{27}\pi h^3$となる。

これを時間$t$で微分すると、$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{27}\pi \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{1}{9}\pi h^2 \frac{dh}{dt}$となる。

問題文より、$\frac{dV}{dt} = 5$である。

水面の高さが$h = 12$cmのとき、$\frac{dh}{dt}$を求める。

$5 = \frac{1}{9}\pi (12)^2 \frac{dh}{dt}$

$5 = \frac{144}{9}\pi \frac{dh}{dt}$

$5 = 16\pi \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{16\pi}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16\pi}$ cm/秒