## 52番の問題

## 52番の問題

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1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解します。

(1) $x^3 + y^3 - 3xy + 1$

(2) $1 - 8x^3 - 18xy - 27y^3$

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2. 解き方の手順

(1) $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ の因数分解

$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1)$ と見ることができます。これは、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ の公式を利用できます。

したがって、

$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1^2 - xy - y(1) - x(1))$

$= (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$

(2) $1 - 8x^3 - 18xy - 27y^3$ の因数分解

$1 - 8x^3 - 27y^3 - 18xy = 1^3 + (-2x)^3 + (-3y)^3 - 3(1)(-2x)(-3y)$ と見ることができます。

これも、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ の公式を利用できます。

したがって、

$1^3 + (-2x)^3 + (-3y)^3 - 3(1)(-2x)(-3y) = (1 - 2x - 3y)(1^2 + (-2x)^2 + (-3y)^2 - (1)(-2x) - (-2x)(-3y) - (1)(-3y))$

$= (1 - 2x - 3y)(1 + 4x^2 + 9y^2 + 2x - 6xy + 3y)$

$= (1 - 2x - 3y)(4x^2 + 9y^2 - 6xy + 2x + 3y + 1)$

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3. 最終的な答え

(1) $(x+y+1)(x^2 + y^2 - xy - x - y + 1)$

(2) $(1 - 2x - 3y)(4x^2 + 9y^2 - 6xy + 2x + 3y + 1)$