問題2は、比例 $y = 3x$ のグラフと反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフが2点A, Bで交わっており、点Aのx座標が2のとき、以下の問いに答える問題です。 (1) aの値を求めよ。 (2) 点Bの座標を求めよ。AとBはどういう位置関係にあるか。 (3) 反比例のグラフ上の点で、x座標、y座標の値がともに整数になる点は何個あるか。

1. 問題の内容

問題2は、比例 $y = 3x$ のグラフと反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフが2点A, Bで交わっており、点Aのx座標が2のとき、以下の問いに答える問題です。

(1) aの値を求めよ。

(2) 点Bの座標を求めよ。AとBはどういう位置関係にあるか。

(3) 反比例のグラフ上の点で、x座標、y座標の値がともに整数になる点は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは $y = 3x$ 上にあるので、x座標が2のとき、y座標は $y = 3 * 2 = 6$。したがって、点Aの座標は (2, 6)。

点Aは $y = \frac{a}{x}$ 上にもあるので、(2, 6) を代入して $6 = \frac{a}{2}$。

これから a = 12。

(2) 点Bは $y = 3x$ と $y = \frac{12}{x}$ の交点なので、 $3x = \frac{12}{x}$。

両辺にxをかけて $3x^2 = 12$。

$x^2 = 4$。

$x = \pm 2$。点Aのx座標が2なので、点Bのx座標は -2。

$x = -2$ を $y = 3x$ に代入して $y = 3 * (-2) = -6$。

したがって、点Bの座標は (-2, -6)。

点A(2, 6) と点B(-2, -6) は原点に関して対称な位置にある。

(3) 反比例のグラフは $y = \frac{12}{x}$ であり、$x$ と $y$ がともに整数である点を求める。

$x$ が $12$ の約数であれば、$y$ も整数となる。

$12$ の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$。

これらの正の約数に対応する $x$ と $y$ の組み合わせは、(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)。

また、負の約数に対応する $x$ と $y$ の組み合わせは、(-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1)。

したがって、全部で12個の点が存在する。

3. 最終的な答え

(1) a = 12

(2) 点Bの座標は (-2, -6)。AとBは原点に関して対称な位置にある。

(3) 12個