一辺の長さが $l$ の正方形ABCDの板がある。対角線AC, BDの交点をOとする。正方形の板から三角形AOBを切り取った残りの部分の重心の位置（図中のxの値）を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $l$ の正方形ABCDの板がある。対角線AC, BDの交点をOとする。正方形の板から三角形AOBを切り取った残りの部分の重心の位置（図中のxの値）を求める。

2. 解き方の手順

まず、正方形ABCDの重心は対角線の交点Oにあり、その座標を原点(0, 0)とします。切り取る前の正方形の面積は $l^2$ です。三角形AOBの面積は正方形の1/4なので、$\frac{1}{4}l^2$ です。切り取った後の図形の面積は、正方形から三角形を引いたものなので、$l^2 - \frac{1}{4}l^2 = \frac{3}{4}l^2$ です。

次に、三角形AOBの重心を考えます。三角形AOBは直角二等辺三角形なので、重心は各頂点から中線を引き、その交点になります。三角形AOBの重心の座標は、A($-l/2$, $l/2$), O(0, 0), B($-l/2$, $-l/2$)の座標の平均から計算できます。

$x_G = \frac{-l/2 - l/2 + 0}{3} = -\frac{l}{3}$

$y_G = \frac{l/2 - l/2 + 0}{3} = 0$

よって、三角形AOBの重心の座標は $(-\frac{l}{3}, 0)$ です。

残りの部分の重心のx座標を $x_G'$ とすると、

$x_G' = \frac{(\text{正方形の面積} \times \text{正方形の重心のx座標}) - (\text{三角形の面積} \times \text{三角形の重心のx座標})}{\text{残りの部分の面積}}$

重心の座標を使って、

$0 = \frac{l^2 \cdot 0 - (\frac{1}{4}l^2) \cdot (-\frac{l}{3})}{\frac{3}{4}l^2}$

となります。ここで、切り取った部分の重心を考慮して計算する必要があるので、

$x_{重心} = \frac{A_1x_1 - A_2x_2}{A_1 - A_2}$

ここに、正方形の面積$A_1 = l^2$, 正方形の重心のx座標$x_1 = 0$, 三角形AOBの面積$A_2 = \frac{1}{4}l^2$, 三角形AOBの重心のx座標$x_2 = -\frac{l}{3}$を代入すると、

$x_{重心} = \frac{l^2(0) - \frac{1}{4}l^2(-\frac{l}{3})}{l^2 - \frac{1}{4}l^2} = \frac{\frac{1}{12}l^3}{\frac{3}{4}l^2} = \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{3} l = \frac{1}{9}l$

したがって、求める重心のx座標は $l/9$ となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{l}{9}$