数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。 初期条件は $a_1 = 3$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。

初期条件は $a_1 = 3$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$ です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$ の両辺を $6^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{6^{n+1}} = \frac{6a_n}{6^{n+1}} + \frac{3^{n+1}}{6^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{6^{n+1}} = \frac{a_n}{6^n} + \frac{1}{2^{n+1}}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{6^n}$ とおくと、漸化式は次のようになります。

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2^{n+1}}$

この漸化式は、$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{2^{n+1}}$ と変形できます。これは階差数列を表しているので、$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}}$

$b_1 = \frac{a_1}{6^1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ であるから、

$b_n = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n}$

これは初項 $\frac{1}{4}$、公比 $\frac{1}{2}$、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$b_n = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{2})^{n-1})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{2})^{n-1})}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^{n-1})$

$b_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$

したがって、$b_n = 1 - \frac{1}{2^n}$ となります。

$a_n = 6^n b_n$ より、

$a_n = 6^n (1 - \frac{1}{2^n}) = 6^n - \frac{6^n}{2^n} = 6^n - 3^n$

$n=1$ のとき、$a_1 = 6^1 - 3^1 = 6 - 3 = 3$ となり、$a_1 = 3$ を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = 6^n - 3^n$