長方形ABCDがあり、点Pと点Qは点Aを同時に出発する。点Pは秒速2cmで辺AD, 辺DC上をA→D→C→D→Aの順に往復する。点Qは秒速6cmで辺AB, 辺BC上をA→B→C→B→Aの順に往復する。PQを結ぶ直線が初めて辺ABに平行になるのは出発してから何秒後か？

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Pと点Qは点Aを同時に出発する。点Pは秒速2cmで辺AD, 辺DC上をA→D→C→D→Aの順に往復する。点Qは秒速6cmで辺AB, 辺BC上をA→B→C→B→Aの順に往復する。PQを結ぶ直線が初めて辺ABに平行になるのは出発してから何秒後か？

2. 解き方の手順

PQを結ぶ直線が辺ABに平行になるのは、点Pと点Qのy座標が等しくなる時である。

まず、点PがAD上にあるとき（$0 \le t \le \frac{48}{2}=24$）を考える。

点Pのy座標は$2t$である。

点QがAB上にあるとき（$0 \le t \le \frac{80}{6}=\frac{40}{3}$）を考える。

点Qのy座標は$6t$である。

この場合、$2t = 6t$となるのは、$t = 0$のときだけである。

次に、点QがBC上にあるとき（$\frac{40}{3} \le t \le \frac{40}{3} + \frac{48}{6} = \frac{40}{3}+8=\frac{64}{3}$）を考える。

点Qのy座標は、$6 \times \frac{40}{3} - 6(t - \frac{40}{3}) = 80 - 6t + 80 = 160-6t$である。

この場合、$2t = 160 - 6t$となる時を求める。

$8t = 160$

$t = 20$

これは、$0 \le t \le 24$を満たし、$\frac{40}{3} \le t \le \frac{64}{3}$を満たさないので、該当しない。

次に、点PがDC上にあるとき（$24 \le t \le 24 + \frac{80}{2} = 24+40=64$）を考える。

点Pのy座標は、$48$である。

点QがBC上にあるとき（$\frac{40}{3} \le t \le \frac{64}{3}$）を考える。

点Qのy座標は、$160 - 6t$である。

$48 = 160 - 6t$となる時を求める。

$6t = 160 - 48 = 112$

$t = \frac{112}{6} = \frac{56}{3} \approx 18.67$

これは、$24 \le t \le 64$を満たさず、$\frac{40}{3} \le t \le \frac{64}{3}$を満たすので、該当しない。

次に、点QがCB上にあるとき（$\frac{64}{3} \le t \le \frac{64}{3} + \frac{48}{6}=\frac{64}{3}+8 = \frac{88}{3}$）を考える。

点Qのy座標は、$6(t - \frac{64}{3}) = 6t - 128$

$48 = 6t-128$

$176=6t$

$t = \frac{176}{6}=\frac{88}{3} \approx 29.3$

これは、$24 \le t \le 64$を満たし、$\frac{64}{3} \le t \le \frac{88}{3}$を満たすので、該当する。

3. 最終的な答え

$\frac{88}{3}$秒後