$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ と $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、$x^2 + 3xy + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ と $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、$x^2 + 3xy + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$

次に、$x^2 + 3xy + y^2$ を変形します。

$x^2 + 3xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + xy = (x+y)^2 + xy$

$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x+y = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

$xy = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

したがって、

$x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 + xy = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$

3. 最終的な答え

37