正の整数 $n$ に対して、$E_n$ を $n$ 次の単位行列、$0_n$ を $n$ 次正方の零行列とする。 (1) $2n$ 次正方行列 $J_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix}$ は $J_{2n}^2 = -E_{2n}$ を満たすことを示せ。 (2) すべての自然数 $k$ に対して $(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^k = \cos k\theta \cdot E_{2n} + \sin k\theta \cdot J_{2n}$ が成り立つことを示せ。ただし、$\theta$ は実数とする。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$E_n$ を $n$ 次の単位行列、$0_n$ を $n$ 次正方の零行列とする。

(1) $2n$ 次正方行列 $J_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix}$ は $J_{2n}^2 = -E_{2n}$ を満たすことを示せ。

(2) すべての自然数 $k$ に対して $(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^k = \cos k\theta \cdot E_{2n} + \sin k\theta \cdot J_{2n}$ が成り立つことを示せ。ただし、$\theta$ は実数とする。

2. 解き方の手順

(1) $J_{2n}^2$ を計算する。

$J_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix}$ なので、

$J_{2n}^2 = \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -E_n & 0_n \\ 0_n & -E_n \end{pmatrix} = -E_{2n}$ となる。

(2) 数学的帰納法を用いる。

$k = 1$ のとき、$(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^1 = \cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n}$ なので、成立する。

$k = m$ のとき、$(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^m = \cos m\theta \cdot E_{2n} + \sin m\theta \cdot J_{2n}$ が成立すると仮定する。

$k = m+1$ のとき、

\begin{align*}

(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^{m+1} &= (\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^m (\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n}) \\

&= (\cos m\theta \cdot E_{2n} + \sin m\theta \cdot J_{2n}) (\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n}) \\

&= \cos m\theta \cos \theta \cdot E_{2n}^2 + \cos m\theta \sin \theta \cdot E_{2n} J_{2n} + \sin m\theta \cos \theta \cdot J_{2n} E_{2n} + \sin m\theta \sin \theta \cdot J_{2n}^2 \\

&= \cos m\theta \cos \theta \cdot E_{2n} + \cos m\theta \sin \theta \cdot J_{2n} + \sin m\theta \cos \theta \cdot J_{2n} + \sin m\theta \sin \theta \cdot (-E_{2n}) \\

&= (\cos m\theta \cos \theta - \sin m\theta \sin \theta) E_{2n} + (\cos m\theta \sin \theta + \sin m\theta \cos \theta) J_{2n} \\

&= \cos (m\theta + \theta) E_{2n} + \sin (m\theta + \theta) J_{2n} \\

&= \cos (m+1)\theta \cdot E_{2n} + \sin (m+1)\theta \cdot J_{2n}

\end{align*}

したがって、$k = m+1$ のときも成立する。

ゆえに、すべての自然数 $k$ に対して $(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^k = \cos k\theta \cdot E_{2n} + \sin k\theta \cdot J_{2n}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $J_{2n}^2 = -E_{2n}$

(2) $(\cos \theta \cdot E_{2n} + \sin \theta \cdot J_{2n})^k = \cos k\theta \cdot E_{2n} + \sin k\theta \cdot J_{2n}$