$x > -3$ かつ $y > 2$ のとき、$xy - 6 > 2x - 3y$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$x > -3$ かつ $y > 2$ のとき、$xy - 6 > 2x - 3y$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$xy - 6 > 2x - 3y$ を変形します。

$xy - 6 > 2x - 3y$

$xy - 2x + 3y - 6 > 0$

$x(y-2) + 3(y-2) > 0$

$(x+3)(y-2) > 0$

次に、$x > -3$ と $y > 2$ という条件から、$x+3 > 0$ かつ $y-2 > 0$ であることがわかります。

$x+3 > 0$

$y-2 > 0$

したがって、$(x+3)(y-2)$ は正の数同士の積なので、必ず正の数になります。

$(x+3)(y-2) > 0$

以上のことから、$xy - 6 > 2x - 3y$ が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

$x > -3$ かつ $y > 2$ のとき、$xy - 6 > 2x - 3y$ が成り立つ。 (証明終わり)