三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{2}$、$BC = \sqrt{17}$、$\angle A = 135^\circ$のとき、$CA$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{2}$、$BC = \sqrt{17}$、$\angle A = 135^\circ$のとき、$CA$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を使って、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$ を満たす$CA$を求める。

$BC = \sqrt{17}$、$AB = \sqrt{2}$、$\angle A = 135^\circ$を代入する。

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$CA = x$と置く。

$(\sqrt{17})^2 = (\sqrt{2})^2 + x^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$17 = 2 + x^2 + 2x$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

$(x + 5)(x - 3) = 0$

$x = -5, 3$

$x > 0$ より、$x = 3$

3. 最終的な答え

$CA = 3$