$k > 2$ を満たす定数 $k$ がある。不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解を求め、さらに、この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$k > 2$ を満たす定数 $k$ がある。不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解を求め、さらに、この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ を解く。

この不等式は、$5 - x \le 4x$ と $4x < 2x + k$ という2つの不等式に分解できる。

一つ目の不等式 $5 - x \le 4x$ を解く。

$5 - x \le 4x$

$5 \le 5x$

$1 \le x$

よって、$x \ge 1$

二つ目の不等式 $4x < 2x + k$ を解く。

$4x < 2x + k$

$2x < k$

$x < \frac{k}{2}$

したがって、不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解は、$1 \le x < \frac{k}{2}$ である。

次に、この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

不等式を満たす整数 $x$ は、$1, 2, 3, 4, 5$ である必要がある。

したがって、$5 < \frac{k}{2} \le 6$ でなければならない。

もし $\frac{k}{2}$ が 5 以下の場合、満たす整数は4つ以下になる。

もし $\frac{k}{2}$ が 6 より大きい場合、満たす整数は6つ以上になる。

$5 < \frac{k}{2} \le 6$

$10 < k \le 12$

3. 最終的な答え

不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解は、$1 \le x < \frac{k}{2}$ である。

不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲は、$10 < k \le 12$ である。