与えられた二次方程式を解の公式を用いて解く問題です。具体的には、(1) $2x^2 + 5x + 1 = 0$、(2) $3x^2 + 3x - 1 = 0$、(3) $x^2 - 3x - 2 = 0$、(4) $x^2 + 6x + 3 = 0$、(5) $2x^2 - 9x - 5 = 0$、(6) $2x^2 + 5x - 1 = 0$、(7) $3x^2 - 5x + 1 = 0$、(8) $x^2 + x - 4 = 0$、(9) $x^2 + 2x - 5 = 0$、(10) $2x^2 - 6x + 1 = 0$の10個の二次方程式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式を解の公式を用いて解く問題です。具体的には、(1) $2x^2 + 5x + 1 = 0$、(2) $3x^2 + 3x - 1 = 0$、(3) $x^2 - 3x - 2 = 0$、(4) $x^2 + 6x + 3 = 0$、(5) $2x^2 - 9x - 5 = 0$、(6) $2x^2 + 5x - 1 = 0$、(7) $3x^2 - 5x + 1 = 0$、(8) $x^2 + x - 4 = 0$、(9) $x^2 + 2x - 5 = 0$、(10) $2x^2 - 6x + 1 = 0$の10個の二次方程式を解きます。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて求めます。

各方程式に対して、$a$, $b$, $c$ の値を特定し、解の公式に代入して計算します。

(1) $2x^2 + 5x + 1 = 0$ の場合、$a = 2$, $b = 5$, $c = 1$ です。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $3x^2 + 3x - 1 = 0$ の場合、$a = 3$, $b = 3$, $c = -1$ です。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6}$

(3) $x^2 - 3x - 2 = 0$ の場合、$a = 1$, $b = -3$, $c = -2$ です。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

(4) $x^2 + 6x + 3 = 0$ の場合、$a = 1$, $b = 6$, $c = 3$ です。

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$

(5) $2x^2 - 9x - 5 = 0$ の場合、$a = 2$, $b = -9$, $c = -5$ です。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{9 \pm 11}{4}$

$x = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$ または $x = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

(6) $2x^2 + 5x - 1 = 0$ の場合、$a = 2$, $b = 5$, $c = -1$ です。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}$

(7) $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の場合、$a = 3$, $b = -5$, $c = 1$ です。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(8) $x^2 + x - 4 = 0$ の場合、$a = 1$, $b = 1$, $c = -4$ です。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

(9) $x^2 + 2x - 5 = 0$ の場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = -5$ です。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$

(10) $2x^2 - 6x + 1 = 0$ の場合、$a = 2$, $b = -6$, $c = 1$ です。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6}$

(3) $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

(4) $x = -3 \pm \sqrt{6}$

(5) $x = 5, -\frac{1}{2}$

(6) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}$

(7) $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(8) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

(9) $x = -1 \pm \sqrt{6}$

(10) $x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$