(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y=6$のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$の最大値と最小値を求める。 (2) $x^2+y^2=4$のとき、$x^2-2y^2+6x$の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y=6$のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$の最大値と最小値を求める。

(2) $x^2+y^2=4$のとき、$x^2-2y^2+6x$の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x+y=6$より、$y = 6-2x$。$x \geq 0$、$y \geq 0$より、$x \geq 0$、$6-2x \geq 0$。よって、$0 \leq x \leq 3$。

$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$に$y = 6-2x$を代入する。

$f(x) = 4x^2+3x(6-2x)+(6-2x)^2-6x-3(6-2x) = 4x^2+18x-6x^2+36-24x+4x^2-6x-18+6x = 2x^2-6x+18 = 2(x^2-3x)+18 = 2(x-\frac{3}{2})^2 - 2 \times \frac{9}{4} + 18 = 2(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{36}{2} = 2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}$

$0 \leq x \leq 3$より、

$x=\frac{3}{2}$のとき、最小値$\frac{27}{2}$

$x=0$のとき、$f(0) = 18$

$x=3$のとき、$f(3) = 2(3-\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} + \frac{27}{2} = \frac{36}{2} = 18$

よって、最大値は$18$

(2) $x^2+y^2=4$より、$x = 2\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$とおける。

$x^2-2y^2+6x = 4\cos^2\theta - 2(4\sin^2\theta) + 6(2\cos\theta) = 4\cos^2\theta - 8\sin^2\theta + 12\cos\theta = 4\cos^2\theta - 8(1-\cos^2\theta) + 12\cos\theta = 4\cos^2\theta - 8 + 8\cos^2\theta + 12\cos\theta = 12\cos^2\theta + 12\cos\theta - 8$

$t = \cos\theta$とおくと、$-1 \leq t \leq 1$

$g(t) = 12t^2 + 12t - 8 = 12(t^2+t) - 8 = 12(t+\frac{1}{2})^2 - 12 \times \frac{1}{4} - 8 = 12(t+\frac{1}{2})^2 - 3 - 8 = 12(t+\frac{1}{2})^2 - 11$

$-1 \leq t \leq 1$より、

$t=-\frac{1}{2}$のとき、最小値$-11$

$t=1$のとき、$g(1) = 12+12-8 = 16$

$t=-1$のとき、$g(-1) = 12-12-8 = -8$

よって、最大値は$16$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 18, 最小値: $\frac{27}{2}$

(2) 最大値: 16, 最小値: -11