与えられた式 $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開し、整理すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開し、整理すること。

2. 解き方の手順

式を展開する際に、共通の項をまとめて計算を簡略化する。

$A=a-c$ と置くと、式は $(A+b-d)(A-b+d)$ となる。

さらに $B = b-d$ と置くと、式は $(A+B)(A-B)$ となる。

これは $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ の公式を利用できる。

よって $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ となる。

$A^2 = (a-c)^2 = a^2 -2ac + c^2$

$B^2 = (b-d)^2 = b^2 -2bd + d^2$

したがって、$A^2 - B^2 = (a^2 -2ac + c^2) - (b^2 -2bd + d^2) = a^2 -2ac + c^2 - b^2 +2bd - d^2$

整理すると $a^2 -b^2 + c^2 - d^2 -2ac +2bd$ となる。

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 - 2ac + 2bd$