$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$のとき、$\theta$の動径が第2象限にあるとして、次の値を求めよ。 (1) $\sin \theta - \cos \theta$ (2) $\sin \theta, \cos \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$のとき、$\theta$の動径が第2象限にあるとして、次の値を求めよ。

(1) $\sin \theta - \cos \theta$

(2) $\sin \theta, \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $(\sin \theta - \cos \theta)^2$を計算し、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$を利用する。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$であるから、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 (-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\theta$が第2象限にあるとき、$\sin \theta > 0, \cos \theta < 0$であるから、$\sin \theta - \cos \theta > 0$となる。

よって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$と$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$を用いて、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求める。

$\sin \theta = \cos \theta + \frac{\sqrt{6}}{2}$であるから、これを$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$に代入すると、

$(\cos \theta + \frac{\sqrt{6}}{2}) \cos \theta = -\frac{1}{4}$

$\cos^2 \theta + \frac{\sqrt{6}}{2} \cos \theta + \frac{1}{4} = 0$

$4 \cos^2 \theta + 2\sqrt{6} \cos \theta + 1 = 0$

$\cos \theta = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{24 - 16}}{8} = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{8}}{8} = \frac{-2\sqrt{6} \pm 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$

$\theta$が第2象限にあるとき、$\cos \theta < 0$であるから、$\cos \theta = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin \theta = \cos \theta + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \cos \theta = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$