関数 $y = 4x^2$ について、以下のそれぞれの $x$ の変域における $y$ の変域を求めます。 (1) $1 \le x \le 3$ (2) $-2 \le x \le 1$

1. 問題の内容

関数 $y = 4x^2$ について、以下のそれぞれの $x$ の変域における $y$ の変域を求めます。

(1) $1 \le x \le 3$

(2) $-2 \le x \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $1 \le x \le 3$ の場合：

$x=1$ のとき $y = 4 \cdot 1^2 = 4$

$x=3$ のとき $y = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

$y=4x^2$ は下に凸の放物線で、$x \ge 0$ の範囲では $x$ が増加すると $y$ も増加します。

したがって、$1 \le x \le 3$ のとき、$4 \le y \le 36$ となります。

(2) $-2 \le x \le 1$ の場合：

$y=4x^2$ は偶関数なので、$x=0$ のとき最小値 $y=0$ をとります。

$x=-2$ のとき $y = 4 \cdot (-2)^2 = 4 \cdot 4 = 16$

$x=1$ のとき $y = 4 \cdot 1^2 = 4$

$-2 \le x \le 1$ の範囲には $x=0$ が含まれるため、$y$ の最小値は $0$ です。

$x=-2$ のとき $y=16$ で、$x=1$ のとき $y=4$ なので、$y$ の最大値は $16$ です。

したがって、$-2 \le x \le 1$ のとき、$0 \le y \le 16$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $4 \le y \le 36$

(2) $0 \le y \le 16$