与えられた2次関数の最大値、最小値、頂点、軸、および平行移動に関する問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値、最小値、頂点、軸、および平行移動に関する問題を解く。

2. 解き方の手順

[1] 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ (2 ≤ x ≤ 8) について。

(1) 頂点の座標と軸を求める。

平方完成を行う。

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10$

$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

頂点の座標は (6, 1)。

軸は直線 $x = 6$。

(2) 2 ≤ x ≤ 8 における最大値と最小値を求める。

頂点のx座標は6であり、区間[2, 8]に含まれる。

x = 2 のとき $y = \frac{1}{4}(2)^2 - 3(2) + 10 = 1 - 6 + 10 = 5$

x = 8 のとき $y = \frac{1}{4}(8)^2 - 3(8) + 10 = 16 - 24 + 10 = 2$

x = 6 のとき $y = 1$（頂点）

最大値は x = 2 のときの y = 5。

最小値は x = 6 のときの y = 1。

[2] a > 0 とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ (1 ≤ x ≤ 5) について。

(1) 最大値が7のとき、定数aの値を求める。

平方完成を行う。

$y = a(x^2 - 4x) + 2$

$y = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2$

$y = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

頂点の座標は (2, -4a + 2)。

1 ≤ x ≤ 5 において、軸 x = 2 は区間内にある。

a > 0 より、下に凸の放物線なので、区間の端点において最大値をとる可能性がある。

x = 1 のとき $y = a(1)^2 - 4a(1) + 2 = a - 4a + 2 = -3a + 2$

x = 5 のとき $y = a(5)^2 - 4a(5) + 2 = 25a - 20a + 2 = 5a + 2$

$5a + 2 = 7$ より $5a = 5$ となるので、$a = 1$。

(2) 最小値が-6のとき、定数aの値を求める。

頂点のy座標が最小値となる。

$-4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

[3] 放物線 $y = x^2$ を、2点 (2, 3), (5, 0) を通るように平行移動した。

平行移動後の放物線を $y = x^2 + bx + c$ とおく。

(2, 3) を通るので $3 = 2^2 + 2b + c$ より $2b + c = -1$ ...(1)

(5, 0) を通るので $0 = 5^2 + 5b + c$ より $5b + c = -25$ ...(2)

(2) - (1) より $3b = -24$ よって $b = -8$

(1) に代入して $2(-8) + c = -1$ より $-16 + c = -1$ よって $c = 15$

$y = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

[1](1) 頂点: (6, 1), 軸: x = 6

[1](2) 最大値: x = 2 で 5, 最小値: x = 6 で 1

[2](1) a = 1

[2](2) a = 2

[3] y = $x^2 - 8x + 15$