2次関数 $y = ax^2 - 2ax + b$（ただし、$a \neq 0$）が、$0 \le x \le 3$ の範囲で最大値9、最小値1をとるような、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - 2ax + b$（ただし、$a \neq 0$）が、$0 \le x \le 3$ の範囲で最大値9、最小値1をとるような、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた2次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 - 2x) + b$

$y = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + b$

$y = a(x - 1)^2 - a + b$

よって、軸は $x=1$ です。

(2) $a>0$ のときを考えます。

このとき、下に凸な放物線になるので、軸 $x=1$ で最小値をとり、軸から最も遠い $x=3$ で最大値をとります。

最小値は $y = -a + b = 1$

最大値は $y = a(3-1)^2 - a + b = 4a - a + b = 3a + b = 9$

これらを連立方程式として解きます。

$-a + b = 1$

$3a + b = 9$

この2式を辺々引くと、

$4a = 8$

$a = 2$

$-2 + b = 1$ より、$b = 3$

したがって、$a = 2$, $b = 3$

(3) $a<0$ のときを考えます。

このとき、上に凸な放物線になるので、軸 $x=1$ で最大値をとり、$x=0$または$x=3$で最小値をとります。

最大値は $y = -a + b = 9$

$x=0$のとき、$y=b$

$x=3$のとき、$y=9a-6a+b = 3a+b$

$x=0$のとき最小値が1となる場合、$b=1$

このとき、 $-a + 1 = 9$ より、$a = -8$

$3a+b = 3(-8)+1 = -23$ なので、$x=3$での値が最小値とはならない。

$x=3$のとき最小値が1となる場合、$3a+b=1$

このとき、 $-a + b = 9$

$3a + b = 1$

この2式を辺々引くと、

$-4a = 8$

$a = -2$

$-(-2) + b = 9$ より、$b = 7$

したがって、$a = -2$, $b = 7$

3. 最終的な答え

$a=2$, $b=3$ または $a=-2$, $b=7$