与えられた数式の計算を実行し、簡略化します。数式は $\frac{x-1}{x} \times \left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right)$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の計算を実行し、簡略化します。数式は

$\frac{x-1}{x} \times \left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right)$

です。

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}$ を通分します。共通の分母は $(x-1)(x+1)$ です。

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$

分子を展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

したがって、

$(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x$

分母は $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

したがって、

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4x}{x^2 - 1}$

元の式に戻って計算を続けます。

$\frac{x-1}{x} \times \left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac{x-1}{x} \times \frac{4x}{x^2 - 1}$

ここで、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ を使用します。

$\frac{x-1}{x} \times \frac{4x}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(4x)}{x(x-1)(x+1)}$

分子と分母にある $x$ と $x-1$ を約分します。

$\frac{(x-1)(4x)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{x+1}$