与えられた式 $x^2 - x + \frac{1}{4}$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - x + \frac{1}{4}$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は、平方の形にできる可能性があります。

$x^2 - x + \frac{1}{4}$ を $(ax+b)^2$ の形に変形できるか考えます。

$(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$ なので、 $a^2 = 1$, $2ab = -1$, $b^2 = \frac{1}{4}$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a^2=1$ より $a = 1$ または $a = -1$です。

$b^2 = \frac{1}{4}$ より $b = \frac{1}{2}$ または $b = -\frac{1}{2}$です。

$2ab = -1$ という条件に当てはまるように $a$ と $b$ を選択します。

$a=1$ のとき、$2(1)b = -1$ より $b = -\frac{1}{2}$ となります。

$a = -1$ のとき、$2(-1)b = -1$ より $b = \frac{1}{2}$ となります。

したがって、$x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$ と因数分解できます。

確認のために展開すると、 $(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - \frac{1}{2})^2$