$(2x-y-5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x-y-5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を用いると、$(2x-y-5z)^6$ の展開式は次のように表せます。

$$\sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} (2x)^p (-y)^q (-5z)^r$$

ここで、$x^2y^3z$ の係数を求めるので、$p=2$, $q=3$, $r=1$ となります。

このとき、$\frac{6!}{p!q!r!} (2x)^p (-y)^q (-5z)^r$ は

$$\frac{6!}{2!3!1!} (2x)^2 (-y)^3 (-5z)^1 = \frac{6!}{2!3!1!} (4x^2) (-y^3) (-5z) = \frac{720}{12} (4)(-1)(-5) x^2y^3z = 60(20) x^2y^3z = 1200 x^2y^3z$$

したがって、$x^2y^3z$ の係数は $1200$ となります。

3. 最終的な答え

1200