画像に記載されている数学の問題を解きます。具体的には、因数分解の問題が5問と、循環小数を分数に変換する問題が1問あります。

1. 問題の内容

画像に記載されている数学の問題を解きます。具体的には、因数分解の問題が5問と、循環小数を分数に変換する問題が1問あります。

2. 解き方の手順

**問題1:** $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

まず、$(x-1)(x+1)$を計算します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

次に、$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$を計算します。これは$(A+x)(A-x)$の形なので、$A^2 - x^2$で計算できます。ここで、$A = x^2+1$と考えると、

$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = x^4 + x^2 + 1$

最後に、$(x^2-1)(x^4+x^2+1)$を計算します。

$(x^2-1)(x^4+x^2+1) = x^6 + x^4 + x^2 - x^4 - x^2 - 1 = x^6 - 1$

**問題2:** $6x^2+13x+5$

たすき掛けを用いて因数分解します。

$6x^2+13x+5 = (2x+1)(3x+5)$

**問題3:** $ax^2-(a+2)x+2$

$ax^2-(a+2)x+2 = (ax-2)(x-1)$

**問題4:** $x^2+ax+x-a$

$x^2+ax+x-a = x(x+a) + (x-a)$. これはうまくいかないので、再度考えます。

$x^2 + ax + x - a = x^2 + x + ax - a = x(x+1) + a(x-1)$. これもうまくいかない。もう一度。

$x^2+ax+x-a = x^2+(a+1)x-a$

正しくは$x^2+ax+x-a = x(x+a)+1(x-a)$ではないか。 $x^2 + (a+1)x - a = (x-1)(x+a)$.

**問題5:** $x^4-7x^2+1$

$x^4-7x^2+1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2 = (x^2+1)^2 - (3x)^2 = (x^2+1+3x)(x^2+1-3x) = (x^2+3x+1)(x^2-3x+1)$.

**問題6:** $27x^3-8$

$27x^3-8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x-2)((3x)^2+(3x)(2)+2^2) = (3x-2)(9x^2+6x+4)$.

**問題7:** $0.6\dot{3}$

循環小数を分数で表します。$x = 0.6\dot{3} = 0.6333...$とおきます。

$10x = 6.333...$

$100x = 63.333...$

$100x - 10x = 63.333... - 6.333... = 57$

$90x = 57$

$x = \frac{57}{90} = \frac{19}{30}$

3. 最終的な答え

問題1: $x^6 - 1$

問題2: $(2x+1)(3x+5)$

問題3: $(x-1)(x+a)$

問題4: $(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)$

問題5: $(3x-2)(9x^2+6x+4)$

問題6: $\frac{19}{30}$