$2(2x+3y+1)^5$ を展開したときの、$x^2y^2$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$2(2x+3y+1)^5$ を展開したときの、$x^2y^2$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理または多項定理を利用して展開することを考えます。ここでは多項定理を利用します。

$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の係数は、

$$\frac{n!}{p!q!r!}$$

ただし、$p+q+r=n$ です。

この問題では、$(2x+3y+1)^5$ を展開したときの $(2x)^p (3y)^q (1)^r$ の係数を考えます。

$x^2 y^2$ の係数を求めるので、$p=2, q=2$ となります。

$p+q+r = 5$ より、$2+2+r = 5$ なので、$r = 1$ です。

したがって、$(2x+3y+1)^5$ の展開式における $x^2 y^2$ の項は、

$$\frac{5!}{2!2!1!} (2x)^2 (3y)^2 (1)^1 = \frac{120}{4} (4x^2) (9y^2) (1) = 30 \cdot 4 \cdot 9 x^2 y^2 = 1080x^2y^2$$

となります。

問題では、$2(2x+3y+1)^5$ の展開式における $x^2 y^2$ の係数を求めなければならないので、上記の結果を2倍します。

$2 \cdot 1080x^2y^2 = 2160x^2y^2$

3. 最終的な答え

$2160$