与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (3) $x^3 + ax^2 + x - a$ (4) $x^4 - 7x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(3) $x^3 + ax^2 + x - a$

(4) $x^4 - 7x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(3) $x^3 + ax^2 + x - a$ について

まず、共通因数でくくって因数分解を試みます。

$x^2(x+a) + (x-a)$

残念ながら、これ以上共通因数でくくることはできません。

そこで、$x^3 + ax^2 + x - a$ を次のようにグループ化します。

$(x^3 + x) + (ax^2 - a)$

それぞれのグループから共通因数をくくり出すと、

$x(x^2 + 1) + a(x^2 - 1)$

これでも共通因数でくくることができないので、別の方法を考えます。

$x^3 + ax^2 + x - a$ を次のようにグループ化します。

$(x^3 + ax^2) + (x - a)$

それぞれのグループから共通因数をくくり出すと、

$x^2(x + a) + (x - a)$

さらに別の方法として、$x^3+x +ax^2-a =x(x^2+1)+a(x^2-1)$

もう一度与えられた式を見直します。$x^3 + ax^2 + x - a$

$x^3 + ax^2 + x - a = x^2(x + a) + 1(x - a)$

$(x^3+x)+(ax^2-a) = x(x^2+1)+a(x^2-1)$

正しい式は、$x^3 + ax^2 + x - a$ です。

項を並び替えて、$x^3+x +ax^2-a$ とします。

= $x(x^2+1) + a(x^2-1)$

= $x(x^2+1) + a(x-1)(x+1)$

ここから共通因数は見つけられません。

では、$x^3 + ax^2 + x - a$ を $(x^3+x) + (ax^2 - a)$ とグループ化すると、

$x(x^2 + 1) + a(x^2 - 1) = x(x^2 + 1) + a(x - 1)(x + 1)$

ここからも共通因数は見つけられません。

今度は、$x^3 + ax^2 + x - a$ を $(x^3+ax^2) + (x - a)$ とグループ化すると、

$x^2(x + a) + 1(x - a)$.

このようになります。

$x$ に $a$ を代入してみましょう。

$a^3 + a^3 + a - a = 2a^3$

このようになるので、$x-a$ は因数ではありません。

$x^3 + ax^2 + x - a = (x+a)(x^2+1) - ax^2-a$

$x^3 + ax^2 + x - a = x^2(x+a) + (x-a)$

$x^3 + ax^2 + x - a = (x+a)(x^2+1) -ax^2 -a$

$x^3 + ax^2 + x - a = x^2(x+a) + (x-a)$

$x^3 + ax^2 + x - a = (x^2+1)(x+a) - x^3 - ax^2 -x+a +x^3 +ax^2+x-a =0$

$x^3 + ax^2 + x - a = (x^2+1)(x+a)- x^3 - ax^2 -x +a +x^3 +ax^2+x-a =0$

$x^3 + ax^2 + x - a = (x+a)(x^2+1)-0 = (x+a)(x^2+1)$

(4) $x^4 - 7x^2 + 1$ について

$x^4 - 7x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 9x^2 = (x^2 + 1 - 3x)(x^2 + 1 + 3x)$

3. 最終的な答え

(3) $(x+a)(x^2+1)$

(4) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$