与えられた数式を因数分解し、循環小数を分数で表す問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (2) $ax^2 - (a+2)x + 2$ (3) $x^2 + ax - a$ (おそらく問題文にタイプミスがあります。$x^2 + ax - x - a$として解釈します) (4) $x^4 - 7x^2 + 1$ (5) $27x^3 - 8$ (6) $0.6\dot{3}$を分数で表す。

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解し、循環小数を分数で表す問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(2) $ax^2 - (a+2)x + 2$

(3) $x^2 + ax - a$ (おそらく問題文にタイプミスがあります。$x^2 + ax - x - a$として解釈します)

(4) $x^4 - 7x^2 + 1$

(5) $27x^3 - 8$

(6) $0.6\dot{3}$を分数で表す。

2. 解き方の手順

(2) $ax^2 - (a+2)x + 2$ の因数分解

これはたすき掛けで因数分解できます。

$ax^2 - (a+2)x + 2 = (ax - 2)(x - 1)$

(3) $x^2 + ax - x - a$ の因数分解

これは共通因数でくくって因数分解できます。

$x^2 + ax - x - a = x(x + a) - (x + a) = (x - 1)(x + a)$

(4) $x^4 - 7x^2 + 1$ の因数分解

$x^4 - 7x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2 = (x^2 + 1)^2 - (3x)^2$

$= (x^2 + 1 + 3x)(x^2 + 1 - 3x) = (x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)$

(5) $27x^3 - 8$ の因数分解

これは $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

(6) $0.6\dot{3}$ の分数への変換

$x = 0.63333...$ とおくと、

$10x = 6.3333...$

$100x = 63.3333...$

$100x - 10x = 63.3333... - 6.3333...$

$90x = 57$

$x = \frac{57}{90} = \frac{19}{30}$

3. 最終的な答え

(2) $(ax - 2)(x - 1)$

(3) $(x - 1)(x + a)$

(4) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)$

(5) $(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

(6) $\frac{19}{30}$