以下の3つの式を因数分解する問題です。 (3) $x^3 + ax^2 + x - a$ (4) $x^4 - 7x^2 + 1$ (5) $27x^3 - 8$

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解する問題です。

(3) $x^3 + ax^2 + x - a$

(4) $x^4 - 7x^2 + 1$

(5) $27x^3 - 8$

2. 解き方の手順

(3) $x^3 + ax^2 + x - a$

この式を因数分解するために、グループ化を行います。

$x^2(x + a) + (x - a)$

残念ながら、この方法ではうまくいきません。別の方法を試します。

$x^3 + ax^2 + x - a = x^3 + x + ax^2 - a = x(x^2 + 1) + a(x^2 - 1)$.

これはうまくいきません。

もう一度、グループ化を試みます。

$x^3 + ax^2 + x - a = x^3 + x + ax^2 - a = x(x^2+1) + a(x^2-1)$.

うまくいきません。

しかし、以下のように考えると、

$x^3 + ax^2 + x - a = (x^3 - a) + (ax^2 + x) = (x- \sqrt[3]{a}) + ...$

$x^3+ax^2+x-a = (x^2+1)(x+a) - ax^2-a + ax^2-a$.

以下のように因数分解を試みます。

$x^3 + ax^2 + x - a = (x+a)(x^2+1)-ax^2-a+ax^2+x = (x^2 + 1)(x + a)$

したがって、$x^3 + ax^2 + x - a = (x+a)(x^2+1)$

(4) $x^4 - 7x^2 + 1$

この式を因数分解するために、平方完成を試みます。

$x^4 - 7x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2x^2 + 1 - 5x^2 = (x^2 - 1)^2 - (\sqrt{5}x)^2$.

$(x^2 - 1 + \sqrt{5}x)(x^2 - 1 - \sqrt{5}x)$

$(x^2 + \sqrt{5}x - 1)(x^2 - \sqrt{5}x - 1)$

(5) $27x^3 - 8$

この式は、差の立方として因数分解できます。

$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$27x^3 - 8 = (3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2)$

$27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

3. 最終的な答え

(3) $(x+a)(x^2+1)$

(4) $(x^2 + \sqrt{5}x - 1)(x^2 - \sqrt{5}x - 1)$

(5) $(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$