問題33は、与えられた数について、正の約数の個数を求める問題です。 (1)は108、(2)は288について、正の約数の個数を求めます。 問題34は、与えられた数について、正の約数の総和を求める問題です。 (1)は200、(2)は48、(3)は360について、正の約数の総和を求めます。

1. 問題の内容

問題33は、与えられた数について、正の約数の個数を求める問題です。

(1)は108、(2)は288について、正の約数の個数を求めます。

問題34は、与えられた数について、正の約数の総和を求める問題です。

(1)は200、(2)は48、(3)は360について、正の約数の総和を求めます。

2. 解き方の手順

**問題33**

正の約数の個数を求めるには、まず与えられた数を素因数分解します。

$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$と素因数分解されたとき、正の約数の個数は、$(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$で求められます。

(1) 108を素因数分解します。

$108 = 2^2 \times 3^3$

したがって、正の約数の個数は $(2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$個です。

(2) 288を素因数分解します。

$288 = 2^5 \times 3^2$

したがって、正の約数の個数は $(5+1)(2+1) = 6 \times 3 = 18$個です。

**問題34**

正の約数の総和を求めるには、まず与えられた数を素因数分解します。

$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$と素因数分解されたとき、正の約数の総和は、$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{a_2})...(1+p_k+p_k^2+...+p_k^{a_k})$で求められます。

あるいは、$\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \times \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \times ... \times \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$で計算できます。

(1) 200を素因数分解します。

$200 = 2^3 \times 5^2$

したがって、正の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3)(1+5+5^2) = (1+2+4+8)(1+5+25) = (15)(31) = 465$です。

(2) 48を素因数分解します。

$48 = 2^4 \times 3^1$

したがって、正の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3) = (1+2+4+8+16)(4) = (31)(4) = 124$です。

(3) 360を素因数分解します。

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$

したがって、正の約数の総和は $(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5) = (1+2+4+8)(1+3+9)(6) = (15)(13)(6) = 1170$です。

3. 最終的な答え

問題33

(1) 12個

(2) 18個

問題34

(1) 465

(2) 124

(3) 1170