赤玉が3個、白玉が6個入っている袋から、玉を戻さずに1個ずつ3回取り出すとき、取り出した玉に含まれる赤玉の個数の期待値を求めます。

1. 問題の内容

赤玉が3個、白玉が6個入っている袋から、玉を戻さずに1個ずつ3回取り出すとき、取り出した玉に含まれる赤玉の個数の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は、期待値の線形性を利用して解くのが簡単です。

$X_i$ を $i$ 回目の試行で赤玉が出る場合に1、白玉が出る場合に0となる確率変数とします。

すると、取り出した赤玉の個数の合計 $X$ は、

$X = X_1 + X_2 + X_3$

となります。

期待値の線形性より、

$E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$

となります。

それぞれの期待値を計算します。

$E[X_1]$ は1回目の試行で赤玉が出る確率です。これは、袋の中に赤玉が3個、白玉が6個入っているので、

$E[X_1] = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

次に $E[X_2]$ を求めます。これは2回目の試行で赤玉が出る確率です。

1回目の試行の結果によって2回目の確率が変わりますが、期待値を計算する際には、1回目の試行で赤玉が出た場合と白玉が出た場合の確率を考慮する必要があります。

しかし、条件付き確率を計算して足し合わせても、結局確率は1/3になります。

$E[X_2] = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

同様に、$E[X_3]$ は3回目の試行で赤玉が出る確率です。

これも$E[X_3] = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$となります。

したがって、$X$ の期待値は、

$E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$

3. 最終的な答え

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