(1) $ _6C_3 $ と $ _7C_5 $ の値をそれぞれ求めよ。 (2) 男子10人、女子5人の中から5人の委員を選ぶとき、 (ア) 選び方は何通りあるか。 (イ) 男子の委員を2人、女子の委員を3人選ぶ選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) $_6C_3$ と $_7C_5$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) 男子10人、女子5人の中から5人の委員を選ぶとき、

(ア) 選び方は何通りあるか。

(イ) 男子の委員を2人、女子の委員を3人選ぶ選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算する。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2)(ア) 10人の男子と5人の女子、合計15人の中から5人の委員を選ぶので、

$_{15}C_5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$

(2)(イ) 男子10人から2人を選ぶ組み合わせは $_{10}C_2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通り。

女子5人から3人を選ぶ組み合わせは $_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

したがって、男子2人、女子3人を選ぶ組み合わせは、積の法則より $45 \times 10 = 450$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) $_6C_3 = 20$、$_7C_5 = 21$

(2)(ア) 3003通り

(2)(イ) 450通り