海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。風邪薬と胃薬を両方とも携帯していた人の数を $m$ とするとき、$m$ のとりうる値の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。風邪薬と胃薬を両方とも携帯していた人の数を $m$ とするとき、$m$ のとりうる値の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

風邪薬を携帯している人の集合を $A$、胃薬を携帯している人の集合を $B$ とすると、

$n(A) = 75$

$n(B) = 80$

全体の集合を $U$ とすると、$n(U) = 100$ である。

$n(A \cap B) = m$ であり、求めるのは $m$ の最大値と最小値である。

集合の要素に関する公式:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(1) $m$ の最大値について:

$n(A \cap B)$ が最大となるのは、$A \subset B$ または $B \subset A$ のいずれかが成り立つときである。

$n(A) = 75$ かつ $n(B) = 80$ であるから、$A \subset B$ となり、$n(A \cap B) = n(A) = 75$ である。

よって、 $m$ の最大値は75である。

(2) $m$ の最小値について:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$ は $n(U)$ を超えることはないから、$n(A \cup B) \leq n(U) = 100$。

したがって、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \geq n(A) + n(B) - n(U) = 75 + 80 - 100 = 55$。

よって、$m$ の最小値は55である。

3. 最終的な答え

最大値: 75

最小値: 55