問題は2つの部分に分かれています。 [1]：大人5人と子供3人の合計8人に関する順列と組み合わせの問題です。 (1) 8人が一列に並ぶとき、子供3人が隣り合う並び方の総数を求めます。 (2) 8人を2つのグループに分ける方法の数を求めます。ただし、どちらのグループにも少なくとも1人が含まれるものとします。 [2]：1から5の数字が書かれた赤いカード5枚と白いカード5枚の合計10枚のカードから2枚のカードを同時に取り出す確率に関する問題です。 (1) 取り出し方の総数を求めます。 (2) 取り出した2枚のカードの数字が両方とも偶数である確率を求めます。 (3) 取り出した2枚のカードの色が同じで、かつ数字が偶数のみである確率を求めます。 (4) 取り出した2枚のカードの色が同じか、または数字が偶数のみである確率を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

[1]：大人5人と子供3人の合計8人に関する順列と組み合わせの問題です。

(1) 8人が一列に並ぶとき、子供3人が隣り合う並び方の総数を求めます。

(2) 8人を2つのグループに分ける方法の数を求めます。ただし、どちらのグループにも少なくとも1人が含まれるものとします。

[2]：1から5の数字が書かれた赤いカード5枚と白いカード5枚の合計10枚のカードから2枚のカードを同時に取り出す確率に関する問題です。

(1) 取り出し方の総数を求めます。

(2) 取り出した2枚のカードの数字が両方とも偶数である確率を求めます。

(3) 取り出した2枚のカードの色が同じで、かつ数字が偶数のみである確率を求めます。

(4) 取り出した2枚のカードの色が同じか、または数字が偶数のみである確率を求めます。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 子供3人をひとまとめにして1人と考えると、合計で6人の並び順を考えます。子供3人の並び順も考慮する必要があります。

並び方は $6! \times 3!$ で計算できます。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$720 \times 6 = 4320$

(2) 8人を2つのグループに分ける方法は、$2^7$ 通り考えられますが、全て一方のグループに入る場合を除き、2で割る必要があります。

これは、グループAに属する人の選び方を考えることに対応します。

ただし、空のグループを作ることは許されないので、全員が同じグループに入る2通りを引きます。また、どの組に入れるかという区別はないので、2で割ります。

よって、

$(2^8 - 2)/2 = (256-2)/2 = 254/2 = 127$

または、

$2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$ 通り。

[2]

(1) 10枚のカードから2枚を取り出す組み合わせの総数は、$_{10}C_2$ で計算できます。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

(2) 偶数のカードは、赤と白それぞれに2と4の2枚ずつ、合計4枚あります。この4枚から2枚を選ぶ組み合わせは、$_4C_2$ で計算できます。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

確率は、$\frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

(3) 同じ色で偶数のカードを選ぶのは、赤の2と4の組み合わせか、白の2と4の組み合わせなので2通りx1通り=1通りが2組なので2通りx1通り=2通り。

確率は、$\frac{2}{45}$

(4) 全事象は45通り. 2枚とも同じ色になるのは, 赤から2枚取り出すか, 白から2枚取り出すか. それぞれ, $_5C_2 = 10$ 通りなので, 合わせて20通り.

2枚とも偶数なのは6通り.

2枚とも同じ色で偶数なのは2通り.

なので,

同じ色か, または, 偶数なのは

$20 + 6 - 2 = 24$ 通り.

確率は $\frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

[1]

(1) アイウエ: 4320

(2) オカキ: 127

[2]

(1) クケ: 45

(2) コ: 2/15

(3) ス/セン: 2/45

(4) タ/チッ: 8/15