1個のサイコロを5回投げる試行に関する確率の問題です。 まず、1回投げたときに2以下の目が出る確率と3以上の目が出る確率を求めます。 次に、Xを「k回目に初めて2以下の目が出る」ときのkの値、Yを「5回のうち2以下の目が出る回数」と定義し、いくつかの確率を計算します。 最後に、X=2を事象A、Y=3を事象Bとしたときの条件付き確率 $P_A(B)$ と $P_B(A)$ を求めます。

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げる試行に関する確率の問題です。

まず、1回投げたときに2以下の目が出る確率と3以上の目が出る確率を求めます。

次に、Xを「k回目に初めて2以下の目が出る」ときのkの値、Yを「5回のうち2以下の目が出る回数」と定義し、いくつかの確率を計算します。

最後に、X=2を事象A、Y=3を事象Bとしたときの条件付き確率 $P_A(B)$ と $P_B(A)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1個のサイコロを1回投げるとき

* 2以下の目が出る確率は、1と2の2通りなので、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

* 3以上の目が出る確率は、3,4,5,6の4通りなので、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(2) $X=3$ となる確率

1回目と2回目は3以上の目が出て、3回目に2以下の目が出る確率です。

$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$

(3) $Y=3$ となる確率

5回のうち3回、2以下の目が出て、残りの2回は3以上の目が出る確率です。

$_5C_3 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^2 = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$

(4) $X=2$ かつ $Y=3$ となる確率

2回目に初めて2以下の目が出て、$Y=3$となる場合です。つまり、1回目に3以上の目が出て、2回目に2以下の目が出て、残りの3回のうち2回は2以下の目、1回は3以上の目が出ればよい。

$(\frac{2}{3}) \times (\frac{1}{3}) \times _3C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^1 = (\frac{2}{9}) \times 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{243} = \frac{4}{81}$

(5) $X=2$ または $Y=3$ となる確率

$P(X=2 \text{ または } Y=3) = P(X=2) + P(Y=3) - P(X=2 \text{ かつ } Y=3)$

$X=2$となる確率は、1回目が3以上の目で、2回目が2以下の目の時なので、$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} = \frac{54}{243}$

$P(X=2 \text{ または } Y=3) = \frac{54}{243} + \frac{40}{243} - \frac{12}{243} = \frac{82}{243}$

(6) $P_A(B)$

$P_A(B) = P(Y=3 | X=2) = \frac{P(X=2 \text{ かつ } Y=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{12}{243}}{\frac{54}{243}} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$

(7) $P_B(A)$

$P_B(A) = P(X=2 | Y=3) = \frac{P(X=2 \text{ かつ } Y=3)}{P(Y=3)} = \frac{\frac{12}{243}}{\frac{40}{243}} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

* ア/イ = 1/3

* ウ/エ = 2/3

* オ/カキ = 4/27

* クケ/コサシ = 40/243

* ス/セン = 4/81

* タチ/ツテト = 82/243

* ナ/ニ = 2/9

* ヌ/ネノ = 3/10