(3) 1個のサイコロを3回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求める問題。 (4) 3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出れば10点、表が2枚出れば6点、それ以外は得点なしとする。この時の得点の期待値を求める問題。

1. 問題の内容

(3) 1個のサイコロを3回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求める問題。

(4) 3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出れば10点、表が2枚出れば6点、それ以外は得点なしとする。この時の得点の期待値を求める問題。

2. 解き方の手順

(3)

1の目がちょうど2回出る確率は、二項分布に従う。

1回の試行で1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、1の目が出ない確率は $\frac{5}{6}$。

3回のうち2回1の目が出る確率は、

${}_3 C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$

(4)

3枚の硬貨を投げた時の表の枚数と確率を求める。

* 表が3枚出る確率: ${}_3 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ (10点)

* 表が2枚出る確率: ${}_3 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$ (6点)

* 表が1枚出る確率: ${}_3 C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$ (0点)

* 表が0枚出る確率: ${}_3 C_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ (0点)

得点の期待値は、各得点にその確率をかけて足し合わせることで求められる。

$10 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{10}{8} + \frac{18}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{5}{72}$

(4) 3.5点