3枚の硬貨を同時に投げたとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とします。このとき、確率変数 $X$ の期待値を求めなさい。

1. 問題の内容

3枚の硬貨を同時に投げたとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とします。このとき、確率変数 $X$ の期待値を求めなさい。

2. 解き方の手順

硬貨を投げるという試行はベルヌーイ試行です。3枚の硬貨を投げるのは、独立なベルヌーイ試行を3回繰り返すことに相当します。

1枚の硬貨を投げたとき、表が出る確率は $1/2$ であり、裏が出る確率も $1/2$ です。

確率変数 $X$ は表の出る枚数なので、$X$ がとりうる値は0, 1, 2, 3です。

それぞれの確率を求めます。

- $X=0$ のとき（3枚とも裏）：確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

- $X=1$ のとき（1枚が表で2枚が裏）：確率は $_3C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

- $X=2$ のとき（2枚が表で1枚が裏）：確率は $_3C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

- $X=3$ のとき（3枚とも表）：確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

期待値 $E(X)$ は、それぞれの値にその確率をかけて足し合わせたものです。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8}$

$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

別解として、二項分布の期待値を利用できます。

$X$は二項分布 $B(n, p)$ に従うので、$n=3$, $p=1/2$ です。

二項分布の期待値は $E(X) = np$ なので、$E(X) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$