四面体OABCの頂点を移動する点Pがあり、点Pは1秒後に他の3つの頂点のいずれかに確率$1/3$で移動します。最初に頂点Oにいた点Pがn秒後に頂点Aにいる確率$p_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

四面体OABCの頂点を移動する点Pがあり、点Pは1秒後に他の3つの頂点のいずれかに確率$1/3$で移動します。最初に頂点Oにいた点Pがn秒後に頂点Aにいる確率$p_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$p_n$に関する漸化式を立てます。$n$秒後に点Pが頂点Aにいる確率を$p_n$とします。

$n$秒後に点Pが頂点O, B, Cのいずれかにいる確率を$q_n$とします。このとき、$q_n = 1 - p_n$が成り立ちます。

$n+1$秒後に点Pが頂点Aにいるためには、$n$秒後に頂点O, B, Cのいずれかにいる必要があります。

そして、$n$秒後に頂点O, B, Cのいずれかにいた場合に、その次の1秒で頂点Aに移動する確率は$1/3$です。したがって、漸化式は以下のようになります。

$p_{n+1} = \frac{1}{3} q_n = \frac{1}{3} (1 - p_n)$

これを解きます。特性方程式を立てます。

$\alpha = \frac{1}{3} (1 - \alpha)$

$3\alpha = 1 - \alpha$

$4\alpha = 1$

$\alpha = \frac{1}{4}$

したがって、漸化式は以下のように変形できます。

$p_{n+1} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{3} (p_n - \frac{1}{4})$

これは、初項$p_1 - \frac{1}{4}$、公比$-\frac{1}{3}$の等比数列です。

$p_1$は、最初に頂点Oにいた点Pが1秒後に頂点Aにいる確率なので、$p_1 = \frac{1}{3}$です。

$p_n - \frac{1}{4} = (p_1 - \frac{1}{4}) (-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n - \frac{1}{4} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) (-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n - \frac{1}{4} = (\frac{4-3}{12}) (-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} (-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} (-\frac{1}{3})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$p_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$