赤い袋に1と2のカード、白い袋に2と1のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出し、赤い袋から取り出した数を確率変数A、白い袋から取り出した数を確率変数Bとする。 (1) A=2となる確率、Aの期待値E(A)、Aの分散V(A)を求める。 (2) 十の位がA、一の位がBである2桁の数を表す確率変数Mの期待値E(M)と分散V(M)を求める。

1. 問題の内容

赤い袋に1と2のカード、白い袋に2と1のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出し、赤い袋から取り出した数を確率変数A、白い袋から取り出した数を確率変数Bとする。

(1) A=2となる確率、Aの期待値E(A)、Aの分散V(A)を求める。

(2) 十の位がA、一の位がBである2桁の数を表す確率変数Mの期待値E(M)と分散V(M)を求める。

2. 解き方の手順

(1)

A=2となるのは、赤い袋から2のカードを取り出す場合なので、確率は1/2。

Aの取りうる値は1と2。それぞれの確率を考えると

P(A=1) = 1/2

P(A=2) = 1/2

期待値E(A)は、

$E(A) = 1*(1/2) + 2*(1/2) = 3/2$

分散V(A)は、まずAの2乗の期待値を計算する。

$E(A^2) = 1^2*(1/2) + 2^2*(1/2) = 1/2 + 4/2 = 5/2$

分散の公式 $V(A) = E(A^2) - (E(A))^2$ を使うと、

$V(A) = 5/2 - (3/2)^2 = 5/2 - 9/4 = 10/4 - 9/4 = 1/4$

(2)

Mは2桁の数なので、$M = 10A + B$

期待値の線形性より $E(M) = E(10A + B) = 10E(A) + E(B)$

E(A)は(1)で求めたように3/2。同様に、Bの取りうる値は1と2でそれぞれの確率は1/2なので、E(B) = (1+2)/2 = 3/2

$E(M) = 10*(3/2) + 3/2 = 15 + 3/2 = 30/2 + 3/2 = 33/2 = 16.5$

分散について、AとBは独立なので $V(M) = V(10A + B) = 10^2V(A) + V(B)$

V(A)は(1)で求めたように1/4。同様に、$V(B) = E(B^2) - (E(B))^2$

$E(B^2) = 1^2*(1/2) + 2^2*(1/2) = 1/2 + 4/2 = 5/2$

$V(B) = 5/2 - (3/2)^2 = 5/2 - 9/4 = 10/4 - 9/4 = 1/4$

$V(M) = 100*(1/4) + 1/4 = 101/4 = 25.25$

3. 最終的な答え

A=2となる確率は 1/2

E(A) = 3/2

V(A) = 1/4

E(M) = 33/2 = 16.5

V(M) = 101/4 = 25.25