3択の問題が6問あり、でたらめに選択肢を選んだ時の正解数を$X$とする。この時、$X$の期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

3択の問題が6問あり、でたらめに選択肢を選んだ時の正解数を$X$とする。この時、$X$の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、独立なベルヌーイ試行を繰り返す二項分布の問題として考えることができます。

各問題で正解する確率は $\frac{1}{3}$ であり、不正解する確率は $\frac{2}{3}$ です。

6問の問題を解くことは、試行回数 $n=6$、成功確率 $p=\frac{1}{3}$ の二項分布に従うと考えられます。

二項分布における期待値$E(X)$と分散$V(X)$は、以下の公式で計算できます。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

したがって、

$E(X) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$

$V(X) = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

期待値: 2

分散: $\frac{4}{3}$