原点から出発し、数直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて4が出たら+2、それ以外が出たら+1だけ移動する。サイコロを36回投げたとき、Pの座標Xの期待値と分散を求める。

1. 問題の内容

原点から出発し、数直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて4が出たら+2、それ以外が出たら+1だけ移動する。サイコロを36回投げたとき、Pの座標Xの期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げる試行において、4が出る確率を $p$ とする。

$p = \frac{1}{6}$

4以外の目が出る確率は $1-p = \frac{5}{6}$ である。

サイコロを1回投げた時のPの移動量の期待値 $E_1$ は、

$E_1 = 2 \times p + 1 \times (1-p) = 2 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{5}{6} = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$

サイコロを1回投げた時のPの移動量の2乗の期待値 $E_2$ は、

$E_2 = 2^2 \times p + 1^2 \times (1-p) = 4 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

サイコロを1回投げた時のPの移動量の分散 $V_1$ は、

$V_1 = E_2 - (E_1)^2 = \frac{3}{2} - (\frac{7}{6})^2 = \frac{3}{2} - \frac{49}{36} = \frac{54}{36} - \frac{49}{36} = \frac{5}{36}$

サイコロを36回投げた時のPの座標Xの期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 36 \times E_1 = 36 \times \frac{7}{6} = 6 \times 7 = 42$

サイコロを36回投げた時のPの座標Xの分散 $V(X)$ は、

$V(X) = 36 \times V_1 = 36 \times \frac{5}{36} = 5$

3. 最終的な答え

期待値: 42

分散: 5