$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$, $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ が与えられたとき、$x$ と $y$ をそれぞれ簡単にせよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$, $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ が与えられたとき、$x$ と $y$ をそれぞれ簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ の分母を有理化します。

まず、$x$ について、分母の $\sqrt{3} + \sqrt{6}$ の共役な複素数は $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ であるため、分子と分母に $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ を掛けます。

$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} - \sqrt{6})}$

$= \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{3 - 6} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3} - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

次に、$y$ について、分母の $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ の共役な複素数は $\sqrt{3} + \sqrt{6}$ であるため、分子と分母に $\sqrt{3} + \sqrt{6}$ を掛けます。

$y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})}$

$= \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{3 - 6} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3} + \sqrt{6}) = -\sqrt{3} - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

$y = -\sqrt{6} - \sqrt{3}$