与えられた二次関数 $y = -2x^2$ 上の2点A, Bについて、以下の問題を解く。 (1) 点A, Bの座標を求める。 (2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。 (3) 三角形OABの面積を求める。ただし、Oは原点とする。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -2x^2$ 上の2点A, Bについて、以下の問題を解く。

(1) 点A, Bの座標を求める。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

(3) 三角形OABの面積を求める。ただし、Oは原点とする。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

図から、点Aのx座標は-1、点Bのx座標は3である。これらのx座標を二次関数の式に代入してy座標を求める。

点A: $x = -1$のとき、$y = -2(-1)^2 = -2(1) = -2$

したがって、点Aの座標は$(-1, -2)$である。

点B: $x = 3$のとき、$y = -2(3)^2 = -2(9) = -18$

したがって、点Bの座標は$(3, -18)$である。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

点A $(-1, -2)$と点B $(3, -18)$を通る直線の式を$y = ax + b$とする。

この式に点Aと点Bの座標を代入して、連立方程式を解く。

$-2 = -a + b$

$-18 = 3a + b$

この連立方程式を解く。まず、下の式から上の式を引く。

$-18 - (-2) = 3a - (-a) + b - b$

$-16 = 4a$

$a = -4$

$a = -4$を$-2 = -a + b$に代入する。

$-2 = -(-4) + b$

$-2 = 4 + b$

$b = -6$

したがって、直線ABの式は$y = -4x - 6$である。

(3) 三角形OABの面積を求める。

直線ABとy軸との交点をCとする。点Cの座標は$(0, -6)$である。

三角形OABの面積は、三角形OACの面積と三角形OBCの面積の和で計算できる。

三角形OACの面積: 底辺はOCの長さで$|{-6}| = 6$、高さは点Aのx座標の絶対値で$|{-1}| = 1$。

三角形OACの面積 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3$

三角形OBCの面積: 底辺はOCの長さで$|{-6}| = 6$、高さは点Bのx座標で$3$。

三角形OBCの面積 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

三角形OABの面積 = 三角形OACの面積 + 三角形OBCの面積 = $3 + 9 = 12$

3. 最終的な答え

(1) A $(-1, -2)$, B $(3, -18)$

(2) $y = -4x - 6$

(3) 12