与えられた数列の和を求める問題です。 数列は $5 \cdot 2^k$ であり、$k$ は 1 から $n$ までの整数を取ります。つまり、$\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 2^k$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

数列は $5 \cdot 2^k$ であり、$k$ は 1 から $n$ までの整数を取ります。つまり、$\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 2^k$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定数5をシグマの外に出します。

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\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 2^k = 5 \sum_{k=1}^{n} 2^k

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次に、$\sum_{k=1}^{n} 2^k$ を計算します。これは初項が2、公比が2、項数が $n$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は、

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S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}

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ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題では、$a = 2$, $r = 2$ なので、

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\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2

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したがって、

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5 \sum_{k=1}^{n} 2^k = 5(2^{n+1} - 2) = 5 \cdot 2^{n+1} - 10

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3. 最終的な答え

$5 \cdot 2^{n+1} - 10$