2次方程式 $x^2 - (k-1)x + k + 4 = 0$ の2つの解のうち、一方の解が他方の解の3倍より1大きいとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めよ。ただし、$k > 0$ とする。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (k-1)x + k + 4 = 0$ の2つの解のうち、一方の解が他方の解の3倍より1大きいとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めよ。ただし、$k > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、2つの解を $\alpha$ と $3\alpha + 1$ とおきます。

解と係数の関係より、

$\alpha + (3\alpha + 1) = k - 1$

$\alpha(3\alpha + 1) = k + 4$

上記の2つの式を整理すると、

$4\alpha + 1 = k - 1$

$3\alpha^2 + \alpha = k + 4$

一つ目の式から $k$ を $\alpha$ で表すと、

$k = 4\alpha + 2$

これを2つ目の式に代入すると、

$3\alpha^2 + \alpha = (4\alpha + 2) + 4$

$3\alpha^2 + \alpha = 4\alpha + 6$

$3\alpha^2 - 3\alpha - 6 = 0$

$\alpha^2 - \alpha - 2 = 0$

この2次方程式を解くと、

$(\alpha - 2)(\alpha + 1) = 0$

$\alpha = 2, -1$

$\alpha = 2$ のとき、

$k = 4(2) + 2 = 10$

2つの解は $\alpha = 2$ と $3(2) + 1 = 7$

$k > 0$ を満たす。

$\alpha = -1$ のとき、

$k = 4(-1) + 2 = -2$

2つの解は $\alpha = -1$ と $3(-1) + 1 = -2$

$k > 0$ を満たさないので不適。

したがって、$k = 10$ で、2つの解は $2$ と $7$ である。

3. 最終的な答え

$k = 10$

解は $x = 2, 7$