この問題は、二次関数に関する穴埋め問題です。 * \[1] 3点を通る放物線の式を求める。 * \[2] 二次関数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ の軸、定義域における最小値と最大値を求める。 * \[3] 二次不等式 $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$ の解がすべての実数となるような $m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

この問題は、二次関数に関する穴埋め問題です。

* \[1] 3点を通る放物線の式を求める。

* \[2] 二次関数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ の軸、定義域における最小値と最大値を求める。

* \[3] 二次不等式 $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$ の解がすべての実数となるような $m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

\[1]

3点 (1, 4), (-1, -2), (-2, 1) を通る放物線を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

それぞれの点を代入すると、以下の連立方程式が得られます。

$a + b + c = 4$

$a - b + c = -2$

$4a - 2b + c = 1$

(1) - (2) より、$2b = 6$ よって $b = 3$

これを (1) に代入して、$a + 3 + c = 4$ よって $a + c = 1$

$b = 3$ を (3) に代入して、$4a - 6 + c = 1$ よって $4a + c = 7$

$4a + c = 7$ - $(a + c = 1)$ より、$3a = 6$ よって $a = 2$

$a + c = 1$ より、$2 + c = 1$ よって $c = -1$

したがって、$y = 2x^2 + 3x - 1$

ア = 2、イ = 3、ウ = 1

\[2]

$y = 2x^2 - 8x + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$

(1) グラフの軸は $x = 2$ エ = 2

(2)

(i) $0 < a < 2$ のとき、軸 $x = 2$ は定義域に含まれないので、最小値は $x = a$ のとき。

$y = 2a^2 - 8a + 3$ オ = ⑦, カ = ⑨

(ii) $2 \leq a$ のとき、軸 $x = 2$ は定義域に含まれるので、最小値は $x = 2$ のとき。

$y = -5$ キ = ②, ク = ⑥

(3)

(i) $0 < a < 4$ のとき、最大値は $x = 0$ で $y = 3$ となる。ケ = ⑩, コ = ③

(ii) $a = 4$ のとき、$x = 0$ で $y = 3$, $x = 4$ で $y = 2 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 + 3 = 3$

サ = ⑩, シ = ⑩, ス = ③

(iii) $4 < a$ のとき、最大値は $x = a$ で $y = 2a^2 - 8a + 3$ となる。

セ = ⑦, ソ = ⑨

\[3]

$m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$

$mx + 2m > -x^2 - 2x - 1$

$x^2 + (m+2)x + (2m+1) > 0$

この不等式の解がすべての実数であるためには、判別式 $D < 0$ であれば良い。

$D = (m+2)^2 - 4(2m+1) = m^2 + 4m + 4 - 8m - 4 = m^2 - 4m = m(m-4) < 0$

よって、$0 < m < 4$

タ = ⑩, チ = ④

3. 最終的な答え

\[1] ア = 2, イ = 3, ウ = 1

\[2] (1) エ = 2

(2) (i) オ = ⑦, カ = ⑨ (ii) キ = ②, ク = ⑥

(3) (i) ケ = ⑩, コ = ③ (ii) サ = ⑩, シ = ⑩, ス = ③ (iii) セ = ⑦, ソ = ⑨

\[3] タ = ⑩, チ = ④