袋の中にA, B, C, D, Eの5枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚取り出し、取り出したカードに書かれた文字を記録してから袋に戻す。この操作を4回繰り返した後、記録された文字をアルファベット順に左から並べて文字列を作る。 (1) 文字列がABBB, ABCCとなるようなカードの取り出し方はそれぞれ何通りあるか。 (2) 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。 (3) 文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

袋の中にA, B, C, D, Eの5枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚取り出し、取り出したカードに書かれた文字を記録してから袋に戻す。この操作を4回繰り返した後、記録された文字をアルファベット順に左から並べて文字列を作る。

(1) 文字列がABBB, ABCCとなるようなカードの取り出し方はそれぞれ何通りあるか。

(2) 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。

(3) 文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

文字列がABBBとなる場合:

まずAが1枚、Bが3枚である。

4回の試行でAが1回、Bが3回出る必要がある。

Aが出る回、Bが出る回は特定されている。

Aが出る順番は4通りある（1回目、2回目、3回目、4回目）。

よって、ABBBとなるような取り出し方は4通り。

文字列がABCCとなる場合:

まずAが1枚、Bが1枚、Cが2枚である。

4回の試行でAが1回、Bが1回、Cが2回出る必要がある。

Aが出る回、Bが出る回、Cが出る回は特定されている。

取り出し方の総数は、4つの文字を並べる順列の場合の数と同じである。ただし、Cが2回あるため、同じものを含む順列の考え方を用いる。

$\frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$

よって、ABCCとなるような取り出し方は12通り。

(2)

文字列の左から1番目がAとなる場合:

これは、少なくとも1回Aが出ればよい。

4回の試行で、A, B, C, D, Eのいずれかのカードを取り出す。

各回の試行で5通りのカードの選び方があるので、4回の試行全体では $5^4 = 625$通りの取り出し方がある。

Aが一度も出ない場合の数は、4回の試行でB, C, D, Eのいずれかを取り出す場合であり、 $4^4 = 256$通りである。

したがって、少なくとも1回Aが出る場合の数は、全体の数からAが一度も出ない場合を引けば良い。

$5^4 - 4^4 = 625 - 256 = 369$

よって、文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は369通り。

(3)

文字列の左から2番目がBとなる場合:

これは、Aが0回で、Bが少なくとも1回あればよい。

Aが0回の場合、B, C, D, Eの4枚からカードを選ぶ。

このとき、少なくとも1回Bが出ればよい。

4回の試行全体では $4^4 = 256$通りの取り出し方がある。

Bが一度も出ない場合の数は、4回の試行でC, D, Eのいずれかを取り出す場合であり、$3^4 = 81$通りである。

したがって、Aが0回で、少なくとも1回Bが出る場合の数は、全体の数からBが一度も出ない場合を引けば良い。

$4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175$

よって、文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は175通り。

3. 最終的な答え

(1) ABBBとなるような取り出し方は4通り。ABCCとなるような取り出し方は12通り。

(2) 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は369通り。

(3) 文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は175通り。