A, Bの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところでゲームを止める。引き分けはないものとすると、勝負の分かれ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, Bの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところでゲームを止める。引き分けはないものとすると、勝負の分かれ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

Aが勝つ場合とBが勝つ場合で場合分けして考える。

(1) Aが3回目で勝つ場合:

この場合は、Aが3連勝するしかないので1通り。

(2) Aが4回目で勝つ場合:

4回目にAが勝つので、3回目までにAが2回、Bが1回勝つ必要がある。

3回目までにAが2回、Bが1回勝つ組み合わせは $_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

したがって、Aが4回目で勝つ場合は3通り。

(3) Aが5回目で勝つ場合:

5回目にAが勝つので、4回目までにAが2回、Bが2回勝つ必要がある。

4回目までにAが2回、Bが2回勝つ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、Aが5回目で勝つ場合は6通り。

同様に、Bが勝つ場合も考える。Aが勝つ場合とBが勝つ場合は対称なので、

Bが3回目で勝つ場合: 1通り

Bが4回目で勝つ場合: 3通り

Bが5回目で勝つ場合: 6通り

すべての勝負の分かれ方は、Aが勝つ場合とBが勝つ場合を足し合わせる。

$1 + 3 + 6 + 1 + 3 + 6 = 20$ 通り

3. 最終的な答え

20通り