この問題は、大問4で、（1）8人の並び方と2組への分け方、（2）赤いカードと白いカードから2枚同時に取り出す確率に関する4つの小問に答えるものです。

1. 問題の内容

この問題は、大問4で、（1）8人の並び方と2組への分け方、（2）赤いカードと白いカードから2枚同時に取り出す確率に関する4つの小問に答えるものです。

2. 解き方の手順

(1) (1)

大人5人と子供3人の合計8人が一列に並ぶとき、子供3人が隣り合う並び方は、まず子供3人をひとまとめにして考えます。すると、並び方は大人5人と子供のグループ1つの計6つのものを並べる並び方である $6!$ 通りがあります。さらに、子供3人の並び方は $3!$ 通りあるので、全体では $6! \times 3!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、$720 \times 6 = 4320$ 通りです。

(1) (2)

8人を2つのグループに分ける方法は、1人以上が含まれるようにするという条件があります。まず8人から1人を選び、残り7人から1人を選び...というように考えると、組み合わせの数として ${}_8C_1 + {}_8C_2 + {}_8C_3 + {}_8C_4 + {}_8C_5 + {}_8C_6 + {}_8C_7$ を計算しなくてはなりません。しかし、これは、各人をA,B二つのグループに分ける方法から、全員Aグループと全員Bグループの場合を除いたものを考えると、2^8 - 2 となり、A,Bの区別がないので2で割ると分かります。すなわち、$(2^8 - 2)/2$ を計算します。ただし、問題文には8人を2組に分けると書いてあるので、組に区別はありません。この場合は、８人から１人以上７人以下の人数を選ぶ組み合わせの数を計算する必要があります。

８人から１人を選ぶ組み合わせ：${}_8C_1 = 8$

８人から２人を選ぶ組み合わせ：${}_8C_2 = \frac{8\times7}{2 \times 1} = 28$

８人から３人を選ぶ組み合わせ：${}_8C_3 = \frac{8\times7\times6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

８人から４人を選ぶ組み合わせ：${}_8C_4 = \frac{8\times7\times6\times5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

したがって、合計は$8+28+56+70 = 162$となるわけではありません。なぜなら、ある人数のグループを作った時点で残りの人は自動的に決まるからです。たとえば、3人のグループを作ると、残りの5人のグループも必然的に決まります。

グループ分けをするときに、片方のグループの人数が決まればもう片方のグループの人数も決まるので、

($1+2+3+4+5+6+7$ 人を選ぶ）と分けることを考えれば良い。グループに区別がないので半分に割る必要があり、１つのグループに１人以上はいる必要があるから ${}_8C_1 + {}_8C_2 + {}_8C_3 = 8 + 28 + 56 = 92$。残りは ${}_8C_5 + {}_8C_6 + {}_8C_7=56 + 28 + 8 = 92$

2組に分けることを考えた場合、${}_8C_1 + {}_8C_2 + {}_8C_3 = 36+28+8=44$通りの分け方があります。しかし、組に区別がないので ${}_8C_1 + {}_8C_2 + {}_8C_3 = 36 + 28 + 8=44$ 通りからペアになっているものを探します。結局、$8 + 28 + 56 = 92$

(2) (1)

赤いカードと白いカードがそれぞれ5枚ずつ、計10枚のカードから2枚を同時に取り出す方法は、${}_{10}C_2$ 通りです。

${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通り

(2) (2)

2枚とも偶数である確率は、偶数のカードが各色2枚ずつ、合計4枚あるので、その中から2枚を選ぶ組み合わせを考えます。${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。したがって、確率は $\frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ です。

(2) (3)

2枚が同じ色で、かつ数字が偶数のみである確率は、赤と白それぞれに偶数が2枚ずつあるので、赤の偶数2枚を選ぶか、白の偶数2枚を選ぶかのいずれかです。それぞれの選び方は ${}_2C_2 = 1$ 通りなので、合計2通り。したがって、確率は $\frac{2}{45}$ です。

(2) (4)

2枚が同じ色、または数字が偶数のみである確率は、2枚が同じ色である確率と、数字が偶数のみである確率を足し、両方に該当する場合を引きます。

2枚が同じ色である確率は、赤から2枚を選ぶか、白から2枚を選ぶか。${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りなので、同じ色であるのは $10 + 10 = 20$ 通り。したがって、確率は $\frac{20}{45}$ です。

数字が偶数のみである確率は、既に計算済みで $\frac{6}{45}$ です。

両方に該当する場合、つまり同じ色で数字が偶数なのは、(3)で計算済みで $\frac{2}{45}$ です。

したがって、確率は $\frac{20}{45} + \frac{6}{45} - \frac{2}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$ です。

3. 最終的な答え

(1) (1) アイウエ: 4320

(1) (2) オカキ: 2組に区別がない場合36、組に区別がある場合92

(2) (1) クケ: 45

(2) (2) コ/サシ: 2/15

(2) (3) ス/セソ: 2/45

(2) (4) タ/チッ: 8/15