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円錐の側面に糸を巻き付ける問題です。 (1) 糸の長さが最も短くなるように巻き付けた時の、展開図における糸の形状を4つの選択肢から選びます。 (2) 糸の長さを求めます。

幾何学円錐展開図余弦定理最短距離
2025/5/6

1. 問題の内容

円錐の側面に糸を巻き付ける問題です。
(1) 糸の長さが最も短くなるように巻き付けた時の、展開図における糸の形状を4つの選択肢から選びます。
(2) 糸の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 糸の長さが最も短くなるのは、展開図において点Aと点A'を結ぶ線分が直線になる時です。展開図は円錐の側面を展開した扇形なので、点Aと点A'を結ぶ線分は扇形の中を通る必要があります。選択肢の中からこれに該当するものを探すと、「ウ」となります。
(2) 点Aから出発して点A'に戻る糸の長さは、展開図における線分AA'の長さに等しくなります。
展開図において、PA = PA' = 6 cmであり、角APA' = 60°です。三角形APA'は二等辺三角形なので、余弦定理を用いてAA'の長さを求めます。
AA'2^2 = PA2^2 + PA'2^2 - 2*PA*PA'*cos(角APA')
AA'2^2 = 626^2 + 626^2 - 2 * 6 * 6 * cos(60°)
AA'2^2 = 36 + 36 - 2 * 36 * (1/2)
AA'2^2 = 72 - 36
AA'2^2 = 36
AA' = 36\sqrt{36} = 6 cm

3. 最終的な答え

(1) ウ
(2) 6 cm

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