(1) 2つのベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$、$\vec{b} = (-1, -\sqrt{3})$ に対して、その内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、なす角 $\theta$ を求める。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ のなす角が $135^\circ$、$|\vec{a}| = \sqrt{6}$、$\vec{b} = (-1, \sqrt{2})$ のとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 2つのベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$、$\vec{b} = (-1, -\sqrt{3})$ に対して、その内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、なす角 $\theta$ を求める。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ のなす角が $135^\circ$、$|\vec{a}| = \sqrt{6}$、$\vec{b} = (-1, \sqrt{2})$ のとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$、$\vec{b} = (-1, -\sqrt{3})$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3})(-1) + (1)(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

ベクトルの大きさは、

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ より、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-2\sqrt{3}}{(2)(2)} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\theta = 150^\circ$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ より、

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$

$\theta = 135^\circ$、$|\vec{a}| = \sqrt{6}$、$|\vec{b}| = \sqrt{3}$ より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{6})(\sqrt{3}) \cos{135^\circ} = (\sqrt{6})(\sqrt{3}) (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{18} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\sqrt{3}$, $\theta = 150^\circ$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$